Argument et angle - Corrigé

Énoncé

Dans chacun des cas suivants, déterminer `\left(\vec{u};\vec{w}\right)`  où `\vec{w}`  est un vecteur non nul du plan complexe d'affixe.

1.  `z_1=3`  

2.  `z_2=-5`   

3.  `z_3=\frac{3}{2}i`

4.  `z_4=-2i`  

Solution

1.  On a : \(\left\vert z_1 \right\vert =\left\vert 3 \right\vert =3\) .
Soit `\theta_1` un argument de `z_1` . On a alors :
\(\left\lbrace \begin{array}{l} \cos\theta_1 =\frac{3}{3} =1 =\cos 0 \\ \sin\theta_1 =\frac{0}{3} =0 =\sin 0 \end{array} \right.\)
donc `\left(\vec{u};\vec{w}\right) = \theta_1 \equiv 0 \ [2\pi]` .

2.  On a : \(\left\vert z_2 \right\vert =\left\vert -5 \right\vert =5\) .
Soit `\theta_2` un argument de `z_2` . On a alors :
\(\left\lbrace \begin{array}{l} \cos\theta_2 =\dfrac{-5}{5} =-1 =\cos \pi \\ \sin\theta_2 =\dfrac{0}{5} =0 =\sin \pi \end{array} \right.\)
donc \(\left(\vec{u};\vec{w}\right) = \theta_2 \equiv \pi \ [2\pi]\) .

3.  On a : \(\left\vert z_3 \right\vert =\left\vert \dfrac{3}{2}i \right\vert =\dfrac{3}{2}\) .
Soit `\theta_3` un argument de `z_3` . On a alors :
\(\left\lbrace \begin{array}{l} \cos\theta_3 =\dfrac{0}{\frac{3}{2}} =0 =\cos\dfrac{\pi}{2} \\ \sin\theta_3 =\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} =1 =\sin\frac{\pi}{2} \end{array} \right .\)
donc \(\left(\vec{u};\vec{w}\right) = \theta_3 \equiv \dfrac{\pi}{2} \ [2\pi]\) .

4.  On a : \(\left\vert z_4 \right\vert =\left\vert -2i \right\vert =2\) .
Soit `\theta_4` un argument de `z_4` . On a alors :
\(\left\lbrace \begin{array}{l} \cos\theta_4 =\dfrac{0}{2} =0 =\cos\dfrac{3\pi}{2} \\ \sin\theta_4 =d\frac{-2}{2} =-1 =\sin\dfrac{3\pi}{2} \end{array} \right .\)
donc  \(\left(\vec{u};\vec{w}\right) = \theta_4 \equiv \dfrac{3\pi}{2} \ [2\pi]\) .